Die Gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik by B. L. Van Der Waerden

By B. L. Van Der Waerden

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Diese Abanderung der Basisvektoren vollfUhren wir fUr alle Spalten eines Rechtecks in gleicher Weise; dann werden nach wie vor die Zeilen des Rechtecks durch das System Q:l in gleicher v. d. Waerden, Gruppentheoretische Methode. 4 50 II. Gruppen und ihre Darstellungen. tl irreduzibel transformiert werden. tl in gleicher Weise irreduzibel transformiert werden. § 14. Darstellungen einer endlichen Gruppe 1 • Es sei @ eine endliche Gruppe mit h Elementen. 1m Raum einer beliebigen Darstellung wahle man eine positiv-definite Hermitesche Form, iibe darauf aile Transformationen der Gruppe aus und addiere; das ergibt eine gegeniiber der Gruppe invariante positiv-definite Form.

2) v~ PI' p • (12. 2) Daraus folgt erstens, daB (v~, ... , v~) ein bei der Gruppe 9 invarianter Unterraum von e; ist, also, da e; irreduzibel ist, daB (v~, ... , v~) mit e; iibereinstimmt. Also ist m, die Dimension von e;, h6chstens gleich n: m < n. Durch Vertauschung der Rollen von m und e; beweist man ebenso n > m, mithin ist m = n. Also sind die V ektoren v~, .. " v: linearunabhangig: sie k6nnen als Basisvektoren fUr e; benutzt und mit VI' ••• , Vn bezeichnet werden. N unmehr besagt (12. 2), daB das Gruppenelement a in der Darstellung ~ durch die Matrix (p;,l') dargestellt wird.

8. Gruppen. Eine Menge 9 von Elementen a, b, ... irgendwelcher Art (z. B. ) Jedem Elementepaar a, b ist ein "Produkt" a·b (oder ab), das wieder zu 9 gehort, zugeordnet. ) Das Assoziativgesetz: ab·c = a·bc. ) Es gibt ein "Einselement", e oder 1, mit der Eigenschaft ae = ea = a. (8. ) Zu jedem a von 9 existiert ein Inverses a -1 in g, so daB a· a-I = a -1 a = 1 ist. Die Gruppe heiBt Abelsch, wenn stets ab = ba ist. 2) automatisch erfiiilt; die Einheit e ist die "identische Transformation", die aile Objekte ungeiindert liiBt, und a-I ist die inverse Transformation, die die Transformation a riickgangig macht.

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