Characteristic classes for irregular singularities in diff. by Sommeling R.

By Sommeling R.

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Graphentheorie

Die nunmehr dritte Auflage des von der Kritik hochgelobten Springer Graduate Texts, Graph thought, erscheint hier in einer dem englischen unique weitgehend angeglichenen und nur leicht gek? rzten deutschen Fassung: als verl? ssliche Textgrundlage f? r deutschsprachige Vorlesungen (auch einf? hrende), sowie zum Selbststudium.

Übungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung Ü3

Diese bewährte Aufgabensammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler vereint in sechs Kapiteln mehrere hundert erprobte Übungsaufgaben zu den Grundlagen der linearen Algebra und der linearen Optimierung. Das thematische Spektrum reicht von Matrizen und Determinanten über Vektorrechnung, lineare Gleichungssysteme, Gleichungen von Geraden und Ebenen, Kurven und Flächen 2.

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14) Die regulare Darstellung einer endlichen Korpererweiterung. Sei L=K eine endliche Korpererweiterung und a 2 L . a) a : L ! L ( a(x) = ax fur x 2 L ) ist ein Endomorphismus des K {Vektorraums L und r : L ! EndK (L) (a 7! h. a+b = a + b , ab = a b fur a; b 2 L ). r hei t die regulare Darstellung von L=K . b) Sei a 2 K X ] das charakteristische Polynom von a . Man nennt es auch das charakteristische Polynom von a . Es gilt a(a) = 0. c) Sei fw1; : : : ; wng eine Basis von L=K und sei awi = n P j =1 ij wj (i = 1; : : : ; n; ij 2 K ) x 3 Algebraische und transzendente Korpererweiterungen 32 Dann ist a = det(XEn ( ij )), wobei En die n {reihige Einheitsmatrix bezeichnet.

Satz. Ist z 2 C aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar, dann ist K0 (z )=K0 eine algebraische Korpererweiterung und es gilt z : K0 ] = K0(z) : K0] = 2m mit einem m 2 N . Dieser Satz ermoglicht in vielen Fallen den Nachweis, da eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal undurchfuhrbar ist. 7)). Im Rahmen der Galoistheorie wird auch eine hinreichende Bedingung fur die Konstruierbarkeit von z aus M gegeben werden (vgl. 12). Beispiele: p a) Wurfelverdoppelung. Es ist 3 2 irrational und daher p3 p 3; wenn X 3 2 das Minimalpolynom von 3 2 uber Q ist Q ( 2) : Q ] = 2 sonst Im ersten Fall ist die Wurfelverdoppelung nicht moglich.

C) Stellen Sie z6 und z4 als Linearkombination von f1; z; z2 g dar und bestimmen Sie das Minimalpolynom von z2 uber Q . 9) (Korperkompositum) Sei L=K eine Korpererweiterung. Fur zwei Zwischenkorper Z1; Z2 von L=K ist deren Kompositum Z1 Z2 de niert als der von Z1 Z2 erzeugte Teilkorper von L . a) Z1 Z2 = Z1(Z2 ) = Z2(Z1 ). b) Ist Zi =K algebraisch (i = 1; 2), so auch Z1 Z2 =K . c) Ist ni := Zi : K ] < 1 (i = 1; 2), so gilt Z1 Z2 : K ] n1 n2 . Sind n1 und n2 teilerfremd, so gilt Z1 Z2 : K ] = n1 n2 .

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