Algebra (Graduate Studies in Mathematics, Volume 100) by I. Martin Isaacs

By I. Martin Isaacs

This booklet, in accordance with a first-year graduate path the writer taught on the college of Wisconsin, includes good enough fabric for a two-semester graduate-level summary algebra path, together with teams, jewelry and modules, fields and Galois thought, an creation to algebraic quantity thought, and the rudiments of algebraic geometry. additionally, there are a few extra really expert themes no longer often coated in this type of direction. those contain move and personality idea of finite teams, modules over artinian earrings, modules over Dedekind domain names, and transcendental box extensions. This ebook will be used for self examine in addition to for a direction textual content, and so complete info of just about all proofs are incorporated, with not anything being relegated to the chapter-end difficulties. There are, besides the fact that, 1000's of difficulties, many being faraway from trivial. The booklet makes an attempt to catch a few of the informality of the study room, in addition to the buzz the writer felt while taking the corresponding direction as a scholar.

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14) Die regulare Darstellung einer endlichen Korpererweiterung. Sei L=K eine endliche Korpererweiterung und a 2 L . a) a : L ! L ( a(x) = ax fur x 2 L ) ist ein Endomorphismus des K {Vektorraums L und r : L ! EndK (L) (a 7! h. a+b = a + b , ab = a b fur a; b 2 L ). r hei t die regulare Darstellung von L=K . b) Sei a 2 K X ] das charakteristische Polynom von a . Man nennt es auch das charakteristische Polynom von a . Es gilt a(a) = 0. c) Sei fw1; : : : ; wng eine Basis von L=K und sei awi = n P j =1 ij wj (i = 1; : : : ; n; ij 2 K ) x 3 Algebraische und transzendente Korpererweiterungen 32 Dann ist a = det(XEn ( ij )), wobei En die n {reihige Einheitsmatrix bezeichnet.

Satz. Ist z 2 C aus M mit Zirkel und Lineal konstruierbar, dann ist K0 (z )=K0 eine algebraische Korpererweiterung und es gilt z : K0 ] = K0(z) : K0] = 2m mit einem m 2 N . Dieser Satz ermoglicht in vielen Fallen den Nachweis, da eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal undurchfuhrbar ist. 7)). Im Rahmen der Galoistheorie wird auch eine hinreichende Bedingung fur die Konstruierbarkeit von z aus M gegeben werden (vgl. 12). Beispiele: p a) Wurfelverdoppelung. Es ist 3 2 irrational und daher p3 p 3; wenn X 3 2 das Minimalpolynom von 3 2 uber Q ist Q ( 2) : Q ] = 2 sonst Im ersten Fall ist die Wurfelverdoppelung nicht moglich.

C) Stellen Sie z6 und z4 als Linearkombination von f1; z; z2 g dar und bestimmen Sie das Minimalpolynom von z2 uber Q . 9) (Korperkompositum) Sei L=K eine Korpererweiterung. Fur zwei Zwischenkorper Z1; Z2 von L=K ist deren Kompositum Z1 Z2 de niert als der von Z1 Z2 erzeugte Teilkorper von L . a) Z1 Z2 = Z1(Z2 ) = Z2(Z1 ). b) Ist Zi =K algebraisch (i = 1; 2), so auch Z1 Z2 =K . c) Ist ni := Zi : K ] < 1 (i = 1; 2), so gilt Z1 Z2 : K ] n1 n2 . Sind n1 und n2 teilerfremd, so gilt Z1 Z2 : K ] = n1 n2 .

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